Mọi mặt đóng đều có thể được xây dựng từ một hình đa giác có số chẵn các cạnh và các cạnh này được định hướng. Đa giác như vậy, gọi là đa giác cơ bản của mặt, tạo nên mặt bằng cách đồng nhất (dán) các cặp cạnh của nó lại. Trong các ví dụ dưới đây, nếu dán các cạnh của đa giác lại với nhau sao cho chúng đúng tên (A với A, B với B) và đúng hướng (được thể hiện bằng các mũi tên) sẽ tạo thành các mặt tương ứng.

• Mặt cầu
• Mặt phẳng xạ ảnh (real projective plane R P 2 {\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}
• Mặt xuyến (torus)
• Chai Klein

Mọi đa giác cơ bản đều có thể viết được dưới dạng ký hiệu như sau. Bắt đầu từ một đỉnh, tiến hành di chuyển trên các cạnh của đa giác theo một chiều xác định (có thể là thuận hoặc ngược chiều kim đồng hồ) đến khi trở lại điểm ban đầu. Trong lúc di chuyển, ghi lại tên các cạnh, trong đó thêm số mũ là -1 nếu đang di chuyển ngược định hướng của cạnh đó. Bốn hình trên, khi cuất phát từ góc trái-trên và di chuyển ngược chiều kim đồng hồ, ta thu được

• Mặt cầu: A B B − 1 A − 1 {\displaystyle ABB^{-1}A^{-1}}
• Mặt phẳng xạ ảnh: A B A B {\displaystyle ABAB}
• Mặt xuyến: A B A − 1 B − 1 {\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}
• Chai Klein: A B A B − 1 {\displaystyle ABAB^{-1}} .

Việc dán các cạnh của đa giác là một trường hợp đặc biệt của việc xây dựng không gian thương. Một cách tổng quát hơn, khái niệm không gian thương có thể được dùng để xây dựng các mặt. Chẳng hạn, khi xét thương của mặt cầu khi được đồng nhất tất cả các điểm đối xứng với nhau qua tâm (antipodes), ta thu được mặt phẳng xạ ảnh thực. Một ví dụ khác của phép lấy thương là tổng trực tiếp.